ظام معادلتين من الدرجه الاولى في متغيرين

سنتعامل فى هذا الدرس مع معادلتين من الدرجة الاولى كلا منها يحتوي على مجهولين و كيفية حلهما معا فى آن واحد.
مثال توضيخي:
س + ص=6 ، س -ص =2
يمكن ترجمة هاتين المعادلتين الى الاتي:
ما العددان اللذين ناتج جمعهما 6 و طرحهما 2 ؟
طبعا العددان هما 4 ، 2
هل يوجد عددان غير ذلك ؟ لا
اذا يوجد حل وحيد لمعادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين.
كيف نعبر عن الحل؟
نعبر الخل فى صورة زوج مرتب و هذا يعني ان الحل (4 ،2) يختلف عن الحل (2 ، 4).
لاحظ ان:
المسقط الاول يمثل المجهول س و المسقط الثاني يمثل المجهول ص.
و الان ما هي طرق حل معادلتين من الدرجة الاولى فى متغيرين ؟
الطرقة الجبرية _ الطريقة البيانية

اولا : الطريقة الجبرية:
فكرة الحل:
يتم التخلص من احد المجهولين و عمل معادلة بسيطة فى المجهول الثاني و بعد حلها نوجد هذا المجهول الثاني و نعوض به في احد المعادلتين لايجاد المجهول الاول.

خطوات الحل:
1- للتخلص من احد المجهولين نجعل هذا المجهول فى احد المعادلتين معكوس جمعى لنفس المجهول فى المعادلة الاخرى.
مثلا :
4 س معكوسه الجمعي -4س ، - ص معكوسه الجمعي ص ، ........ و هكذا
2- نقوم بجمع المعادلتين لحذف المجهول المراد التخلص منه.
3- نحل المعادلة البسيطة التى ستظهر من ناتج الجمع لايجاد قيمة المجهول الاخر.
4- نعوض بقيمة هذا المجهول فى احد المعادلتين لايجاد قيمة المجهول الذي تم حذفه سابقا.

مثال:
حل المعادلتين :
3س+(1)ص=7 ، 1س+(3)ص= 5
الحل:
نقوم بترتيب المعادلتين
3س+(1)ص=7-------(1)
1س+(3)ص=5-------(2)
و نتخلص من المجهول س اولا (يمكنك التخلص من ص اولا )
بضرب المعادلة الاولى فى1و ضرب المعادلة الثانية فى -3ينتج أن
3س+(1)ص=7
-3س+(-9)ص=-15
_________________ بالجمع
0 +(-ص=-8 ...................... (نلاحظ بعد الجمع ظهور معادلة بسيطة فى المجهول ص)
بالقسمة على-8 اذا ص=1
بالتعويض عن ص فى المعادلة الاولى ينتج أن:
3س+(1)×1=7
اذا 3س+(1)=7
اذا 3س=7+(-1)
اذا 3س=6
بالقسمة على3 اذا س=2
اذا مجموعة الحل = {(2، 1)}


مثال على ذلك




الطريقة البيانية:
لحل معادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين نمثل كل معادلة بيانيا كما فى الدرس السابق و الذي ينتج على الرسم خطين مستقيمين نقطة تقاطعهما على الشبكة البيانية يمثل حل المعادلتين معا.
و الشكل التالي يمثل الحل بيانيا للمعادلتين :

س+ 2 ص =3 ، 3 س + 2 ص =1